Сериализация enum в json в виде строки

Раз вы пользуетесь json.Net то можете просто использовать атрибут

class Person
{
    int Age { get; set; }
    [JsonConverter(typeof(StringEnumConverter))]
    Gender Gender { get; set; }
}

Также можно указать при настройке сериализатора:

JsonConvert.SerializeObject(MyObject, 
    new Newtonsoft.Json.Converters.StringEnumConverter());

или:

serializer.Converters.Add(new Newtonsoft.Json.Converters.StringEnumConverter()); 

Документация: StringEnumConverter Class

Свободный перевод ответа JavaScriptSerializer - JSON serialization of enum as string от участника @Matt Dearing.