div по размеру background-image

Вместо высоты используй padding-top:

div { 
  background: url(//placehold.it/350x150); 
  background-size: cover; 
  width: 100%; 
  height: 0; 
  padding-top: 42.857%; /* 150/350 */ 
  outline: 1px solid red; 
}

<div></div>

background-size: [ <значение> | <проценты> | auto ]{1,2} | cover | contain

И дальше настраивайте, как нужно. Подробнее, в том числе про поддержку в старых браузерах - http://htmlbook.ru/css/background-size