Как узнать кнопку из формы, которая запустила PHP скрипт?

<form action="#" method="post">
                <div>
                    <input type="text" class="in_name" id="edit" value="" placeholder="Введите измененный текст..." tabindex="1" />
                </div>
                <div>
                    <input type="submit" id="btn" name="'.$id.'" class="action-button" value="Изменить" />
                </div>
            </form>

if( isset( $_POST['Какая-то кнопка'] ) ){
Бла; бла; бла;
}

У вас в форме только одна кнопка. В тех случая когда в форме больше одной кнопки и необходимо различать нажатия, то к каждой кнопке добавляют атрибут name, в котором указывают название кнопки. Здесь, я так понимаю, вы хотите получать идентификатор записи, к которой был добавлен введенный текст. Это можно удобно сделать через скрытое поле:

<input type="hidden" name="id" value="<?= $id ?>">

На серверной стороне это значение вы сможете использовать через глобальный массив пост:

$_POST['id']

Кнопки отправки формы могут быть полноценным полем с полноценным значением:

<button type="submit" name="item_id" value="345">Изменить запись 345</button>
<button type="submit" name="item_id" value="678">Изменить запись 678</button>

Потом в PHP достаёте $_POST['item_id'] и всё. При этом неважно, одна большая форма у вас или много маленьких. Впрочем, для кучки маленьких форм можно сделать и hidden-поле, как предлагают в соседнем ответе.

P.S. id="edit" и id="btn" уберите, повторение id в html-коде запрещено.

P.P.S. Атрибут action из формы лучше тоже убрать. Его отсутствие автоматически означает, что POST-запрос нужно отправить на текущий адрес.

Согласен с автором выше, у вас только одна кнопка и в зависимости от тэга name этой кнопки будет доступен в глобальном массиве $_POST или $_GET