Как загрузить html файл из сети в приложение, чтоб потом смотреть его оффлайн?

Вам нужно будет закэшировать, потом проверять сеть и подгружать в зависимости от интернета

webView.getSettings().setAppCachePath( getApplicationContext().getCacheDir().getAbsolutePath());
webView.getSettings().setAllowFileAccess(true);
webView.getSettings().setAppCacheEnabled(true);
webView.getSettings().setAppCacheMaxSize(5*1024*1024);
//если есть интернет
webView.getSettings().setCacheMode(WebSettings.LOAD_DEFAULT);
//иначе
webView.getSettings().setCacheMode(WebSettings.LOAD_CACHE_ELSE_NETWORK);