алгоритм Тайного Санты (SSA - Secret Santa Algorithm)

А почему бы не сделать так?

1. Перенумеровать участников, пусть их n.
2. Сгенерировать коллекцию { 1, 2, ..., n } и перетасовать её (Collections.shuffle)
3. Участник в первым номером в полученной коллекции делает подарок второму участнику в коллекции, второй — третьему, третий — четвёртому, ..., последний — первому.

Алгоритм генерирует просто цикл длины n. Особенность — никогда не будут сгенерированы несколько коротких циклов, всегда только один длинный.

В Вашем алгоритме можно в цикле сделать проверку, если дарим самому себе, меняемся со следующим в очереди, если последний то с первым. Вот мой вариант:

public class Test {
    public static void main(String args[]) {
        int SANTA_NUMBERS = 10;
        List<Integer> santaList = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < SANTA_NUMBERS; ) {
            santaList.add(++i);
        }
        List<Integer> guests = new ArrayList<>(santaList);
        Collections.shuffle(guests);
        //в этом цикле проверяем
        for (int i = 0; i < santaList.size(); i++) {
            if (santaList.get(i) == guests.get(i)) {
                if (i + 1 < santaList.size()){
                    Integer receiver = guests.get(i + 1);
                    guests.set(i + 1, guests.get(i));
                    guests.set(i , receiver);
                }else {
                    Integer receiver = guests.get(1);
                    guests.set(1, guests.get(i));
                    guests.set(i , receiver);
                }
            }
        }
        for (int j = 0; j < santaList.size(); j++)
            System.out.println(santaList.get(j) + " gives a gift to -> " + guests.get(j));
    }
}