Java try конструкция в try

В вашем случае код можно переписать таким образом (убрав один try) :

try (BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(
    new FileOutputStream(FILENAME), "UTF8"))) {
    bw.write(UNICODE_STRING);
    bw.flush();
} catch (UnsupportedEncodingException | FileNotFoundException ex) {
    Logger.getLogger(UnicodeWriteExample.class.getName())
            .log(Level.SEVERE, null, ex);
} catch (IOException ex) {
    Logger.getLogger(UnicodeWriteExample.class.getName())
            .log(Level.SEVERE, null, ex);
}

Но т.к у вас выполняются абсолютно одинаковые действия, то не имеет смысла ловить исключения разных типов:

try (BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(
        new FileOutputStream(FILENAME), "UTF8"))) {
    bw.write(UNICODE_STRING);
    bw.flush();
} catch (Exception ex) {
    Logger.getLogger(UnicodeWriteExample.class.getName())
            .log(Level.SEVERE, null, ex);
}

В общем случае конструкций вида : try try catch catch желательно избегать, т.к такой код трудно читать.