JavaFX стилизация кнопки “с пропущенными”

У javafx.scene.control.Button нет списка дочерних элементов, но есть getGraphig(), куда можно вставить только одну ноду, поэтому вам потребуется в graphic кнопки вставить какой-нибудь Pane, например AnchorPane для удобства приклеивания метки к углу и внутри него реализовать зеленый фон с телефоном и Label с красным кругом. Тогда Button у вас останется с его родным onAction() методом на клик, а дефолтовый стиль кнопки придется убрать.