Как подключать кнопки в BottomNavigationView?

Для того, чтоб заполнить ваш BottomNavigationView, для начала в макете укажите для BottomNavigationView откуда брать ресурсы с элементами меню при помощи атрибута app:menu:

<android.support.design.widget.BottomNavigationView
   android:id="@+id/bottom_navigation_view"
   ...
   app:menu="@menu/bottom_navigation_menu" />

Ваш bottom_navigation_menu.xml с описанным меню может выглядеть так:

<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<menu
   xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
   xmlns:app="http://schemas.android.com/apk/res-auto">
   <item
      android:id="@+id/action_first"
      android:enabled="true"
      android:icon="@drawable/ic_first"
      android:title="@string/text_first"
      app:showAsAction="ifRoom" />
   <item
      android:id="@+id/action_second"
      android:enabled="true"
      android:icon="@drawable/ic_second"
      android:title="@string/text_second"
      app:showAsAction="ifRoom" />
   <item
      android:id="@+id/action_third"
      android:enabled="true"
      android:icon="@drawable/ic_third"
      android:title="@string/text_third"
      app:showAsAction="ifRoom" />
</menu>

Этого достаточно, чтоб наполнить BottomNavigationView кнопками. Обработка нажатий кнопок будет происходит следующим образом:

BottomNavigationView bottomNavigationView = (BottomNavigationView) findViewById(R.id.bottom_navigation_view);
bottomNavigationView.setOnNavigationItemSelectedListener(new BottomNavigationView.OnNavigationItemSelectedListener() {
   @Override
   public boolean onNavigationItemSelected(@NonNull MenuItem item) {
      switch (item.getItemId()) {
         case R.id.action_first:
            break;
         case R.id.action_second:
            break;
         case R.id.action_third:
            break;   
      }
      return true;
   }
});

Расстояние между иконками контролирует сам BottomNavigationView. Когда количество элементов меню больше трёх, скрываются подписи всех элементов, кроме выбранного. Так же учтите, что максимальное возможное количество элементов равно 5.