Как правильно обработать на Java входящий JSON?

Если вам необходима авторизация, аутентификация И так далее, тогда лучше взять готовую реализацию, типа томката, которую вам уже посоветовали.

Если же вас интересует голая(core java) реализация и вы не будете отягощать Ее авторизацией и другими плюшками присущими Java ee, то в Java есть встроенный http сервер без наворотов, в котором у вас будет возможность получить строку с вашим Json, использую его для мини приложений типа выдачи статуса...

HttpServer server = HttpServer.create();
server.bind(new InetSocketAddress(8080), 0);
server.createContext("/json", new JsonHandler())
server.start();
class JsonHandler implements HttpHandler {
    @Override
    public void handle(HttpExchange exchange) throws IOException {
        InputStream requestBody = exchange.getRequestBody();
        ...
        OutputStream os = exchange.getResponseBody();
        ...
        os.close();
    }
}

для работы собственно json, лучше велосипед не изобретать а взять что-то, например я бы взял jackson

Вам нужно реализовать Java RESTful Web Services. Например на базе TomCat или Jersey. Почитайте тут, эта статья даст вам примерное понимание вопроса...