Как правильно построить логику?

Для того, чтобы избежать проверок вообще, используйте перемешивание Фишера-Йетса (Fisher-Yates shuffle)

В данном случае для генерации массива цифр длиной N<=10 нужно выполнить N операций выбора из массива цифр "0".."9"

Если результат на самом деле представляет собой число длиной N, то может понадобиться выполнять первый случайный выбор, игнорируя ноль

Проверить что все (независимо от их количества) цифры в массиве разные можно так:

• Заводим хранилище уже просмотренных цифр
• Проверяем по очереди все цифры в массиве
• Если очередная цифра уже есть в хранилище, то прерываем проверку и считаем, что массив некорректен
• Иначе добавляем цифру в хранилище
• Если все цифры прошли проверку успешно - значит, массив корректен

Реализация с использованием в качестве хранилища HashSet-а:

public static int[] randInt(int min, int max) {
    Random random = new Random();
    int[] arr;
    boolean isCorrectNumber;
    do
    {
        int randomNum = random.nextInt((max - min) + 1) + min;
        String s = Integer.toString(randomNum);
        arr = new int[s.length()];
        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--)
        {
            arr[i] = randomNum % 10;
            randomNum /= 10;
        }
        isCorrectNumber = true;
        Set<Integer> seenDigits = new HashSet<>();
        for (int digit : arr)
        {
            if (seenDigits.contains(digit))
            {
                isCorrectNumber = false;
                break;
            }
            seenDigits.add(digit);
        }
    }
    while (!isCorrectNumber);
    return arr;
}

Если нельзя использовать HashSet, то для цифр в качестве хранилища можно использовать просто массив на 10 элементов:

isCorrectNumber = true;
boolean[] seenDigits = new boolean[10];
for (int digit : arr)
{
    if (seenDigits[digit])
    {
        isCorrectNumber = false;
        break;
    }
    seenDigits[digit] = true;
}