Как преобразовать String в Date?

1.С использованием LocalDateTime и поиска времени по шаблону:

String string = "Сегодня, 12:00";
LocalTime timePart = null;
LocalDate datePart = null;
String regex = "([01]?[0-9]|2[0-3]):[0-5][0-9]";
Matcher m = Pattern.compile(regex).matcher(string);     
if (m.find()) timePart = LocalTime.parse(m.group(0));       
if (string.contains("Сегодня")) datePart = LocalDate.now();
LocalDateTime date = LocalDateTime.of(datePart, timePart);
Date out = Date.from(date.atZone(ZoneId.systemDefault()).toInstant());
System.out.println(out); // Wed Sep 06 12:00:00 MSK 2017

Для Вчера можно использовать datePart = LocalDate.now().minus(Period.ofDays(1));

2.

String string = "1 сентября 2017";
DateFormat format = new SimpleDateFormat("d MMMM yyyy", new Locale("ru"));
Date date = format.parse(string);
System.out.println(date); // Fri Sep 01 00:00:00 GMT+03:00 2017