Как скачивать и сохранять изображения в память телефона?

Да, есть библиотеки и да, лучше всего использовать их. Вот пример предварительной загрузки изображений в кэш по ссылке либой Glide:

Glide.with(context)
        .load("IMAGE_URL")
        .diskCacheStrategy(DiskCacheStrategy.SOURCE)
        .listener(new RequestListener<String, GlideDrawable>() {
            @Override
            public boolean onException(Exception e, String model, Target<GlideDrawable> target, boolean isFirstResource) {
                Log.e("TAG", "error while preload image by Glide");
                return false;
            }
            @Override
            public boolean onResourceReady(GlideDrawable resource, String model, Target<GlideDrawable> target, boolean isFromMemoryCache, boolean isFirstResource) {
                  Log.d("onResourceReady: " + resource.getIntrinsicWidth() + "/" + resource.getIntrinsicHeight());
                return false;
            }
        })
        .preload();

После этого отображать её так (изображение возьмётся из кэша):

Glide.with(context)
        .load("IMAGE_URL")
        .into(imageView);

Как это сделать новичку? Может быть есть какие-то готовые библиотеки для такого рода задач?

Попробуйте использовать библиотеку Glide для загрузки и кеширования изображений