Как убрать дубликаты вывода строки в консоль в решении задачи

1. Вы выводите "Press any key..." на каждой итерации цикла. Поэтому сколько символов было введено - столько раз сообщение и будет выведено
2. При получении . вы не останавливаете цикл, так что программа будет работать бесконечно

Первую проблему можно решить вынесением сообщения за цикл, а вторую - добавлением break-а при нахождении .:

char choice, exit;
int space;
exit = '.';
space = 0;
System.out.println("Press any key please. Press '.' for exit:");
for (; ; ) {
    choice = (char) System.in.read(); // Получили символ от пользователя.
    if (choice == ' ')
    {
        space += 1; // Добавили пробел если он был нажат.
    }
    else if (choice == '.')
    {
        System.out.print("Programm stopped by exit. " +
            "Space pressed " + space + " times."); /* Закончили на точке и показали пробелы. */
        break;
    }
}

А ещё в коде можно немного прибраться:

int spacesCount = 0;
boolean gotExitSymbol = false;
System.out.println("Press any key please. Press '.' for exit:");
while (!gotExitSymbol)
{
    char symbol = (char)System.in.read(); // Получили символ от пользователя.
    if (symbol == ' ')
    {
        spacesCount++; // Добавили пробел если он был нажат.
    } 
    else if (symbol == '.')
    {
        gotExitSymbol = true;
    }
}
System.out.println("Program stopped by exit. " + "Space pressed " + spacesCount + " times."); /* Закончили на точке и показали пробелы. */

Убрал лишние переменные, другие переименовал, использовал ++ вместо += 1, а while (true) (он же for (; ; )) заменил на while с флагом (очень не люблю while (true) за то как он выглядит)

Или несколько короче при использовании в while сложного условия вместо флага:

int spacesCount = 0;
System.out.println("Press any key please. Press '.' for exit:");
char symbol;
while ((symbol = (char)System.in.read()) != '.')
{
    if (symbol == ' ')
        spacesCount++; // Добавили пробел если он был нажат.
}
System.out.println("Program stopped by exit. " + "Space pressed " + spacesCount + " times."); /* Закончили на точке и показали пробелы. */