Как узнать из главного потока, что побочный поток завершился ошибкой?

Использовать Thread.UncaughtExceptionHandler:

Thread.UncaughtExceptionHandler h = new Thread.UncaughtExceptionHandler() {
    public void uncaughtException(Thread th, Throwable ex) {
        System.out.println("Uncaught exception: " + ex);
    }
};
Thread second_thread = new Thread(null, new Runnable() {
    public void run() {
        throws new Exception();
    }
});
second_thread.setUncaughtExceptionHandler(h);
second_thread.start();
second_thread.join();

Диаграмма жизни потока при возникшем исключении:

Отсюда

UPD

Если исключение нужно получить в "родительском" потоке, то нужно использовать Callable и ExecutionContext:

Callable<Void> task = new Callable<Void> {
    public Void call() throws Exception {
        throws new Exception();
    }
});
ExecutorService executor = Executors.newSingleThreadExecutor();
Future<Void> futureResult = executor.submit(task);
try {
    futureResult.get();
}
catch (ExecutionException e) {
    // анализируете причину с помощью getCause()/initCause()
}