Как вывести текст в JTextArea (swing)?

Не до конца понятно что именно у Вас не получается, вот пример того, что (возможно) Вам нужно, если что уточните что не так:

    import javax.swing.*;
    import java.util.Arrays;
    import java.util.List;
    public class TextTest {
        public static void main(String[] args) {
            List<String> list = Arrays.asList("Мама мыла раму.", "Долго и скучала.", "Вечер уж настал");
            SwingUtilities.invokeLater(() ->
            {
                StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
                for (String s : list) {
                    stringBuilder.append(s).append("\n");
                }
                JTextArea textArea = new JTextArea(stringBuilder.toString());
                JFrame frame = new JFrame("_________");
                frame.add(new JScrollPane(textArea));
                frame.setSize(1000, 600);
                frame.setLocationRelativeTo(null);
                frame.setDefaultCloseOperation(WindowConstants.EXIT_ON_CLOSE);
                frame.setVisible(true);
            });
        }
    }

Весь смысл в том, чтоб текст подготовить заранее.

Можно использовать метод append

textArea.append("Любой текст");

Тогда строка будет добавляться к уже существующему тексту в JTextArea.