Есть сайт, нужно, чтобы при запуске программы нажималась кнопка на сайте. Сайт не должен открываться в браузере.
Вам нужен headless browser и скрипт для него, эмулирующий действия пользователя. Я бы предпочёл PhantomJS. Пример реализации клика можно найти, например, тут
Основные этапы разработки сайта для стоматологической клиники
Продвижение своими сайтами как стратегия роста и независимости