Нужно ли закрывать локальныеIO-потоки в Java

public void method() {
    FileInputStream fis = new FileInputStream("input.txt");
    ...
    fis.close(); //Необходимо ли это?
}

Обязательно. При создании объект открывается для чтения и система должна знать, когда ресурс станет опять свободным. Также, в случае, если поток окажется не закрыт, может происходить утечка памяти.

Да, нужно закрывать, чтобы не было утечки памяти. Закрывая мы говорим сборщику мусора, что объект можно убирать. Если не хочется закрывать вручную, есть альтернатива: try-с-ресурсами:

try (FileInputStream fis = new FileInputStream("input.txt")) {
        //тут что-то делать с fis.
} catch(IOException e) {
        // обработка исключений
} finally {
        // финализация чего-либо
}

FileInputStream будет закрыт автоматически. В самом простом случае от finally можно отказаться совсем.

Leonis дело говорит. Причем крайне рекомендуется использовать именно try-с-ресурсами (при Java 7 и выше) вместо закрытия вручную в блоке finally