Проброс исключения в методе интерфейса

Интерфейс он не для Вас, он для вызывающей стороны и он показывает что вызывающая сторона должна обработать исключение, а бросите вы его или нет в конкретной реализации уже дело реализации.

В вашем примере при вызове исключение не требуется к обработке т.к. вы обращаетесь не к интерфейсу, а к объекту Main и его методу exit напрямую, приведите тип и все произойдет, вот полюбуйтесь:

import java.io.IOException;
public interface MyCommand {
    void exit() throws IOException;
}
public class Main implements MyCommand{
    @Override
    public void exit() {
        System.out.println("Сработал метод exit()");
    }
    public static void main(String[] args) {
        Main m = new Main();
        // не требует обработки т.к. метод Main.exit не имеет исключения в сигнатуре
        m.exit();
        MyCommand c = (MyCommand) m;
        // требует обработки т.к. метод MyCommand.exit имеет исключение в сигнатуре
        c.exit();
    }
}