ProgressBar 10 секунд

Мне кажется все проще чем на первый взгляд. Когда вам нужно вы запускаете ProgressBar и дальше через Handler переходите на другую активность:

final Handler handler = new Handler();
handler.postDelayed(new Runnable() {
  @Override
  public void run() {
    Intent goToNextActivity = new Intent(getApplicationContext(), YourNewClass.class);
    startActivity(goToNextActivity);
   //переход через 100ms
  }
}, 100);

Так же здесь в теле функции Run вы можете указать остановку ProgressBar но мне кажется что при переходе на другую активность он будет останавливаться.