Реализация открытия стартового Activity

Можно сохранять статус авторизации, в самом простом случае, в виде флага в SharedPreferences.

После авторизации сохраняете статус:

SharedPreferences sharedPreferences = getActivity().getPreferences(Context.MODE_PRIVATE);
SharedPreferences.Editor editor = sharedPreferences.edit();
editor.putBoolean("IS_AUTHORIZED", true);
editor.commit();

После разлогинивания:

SharedPreferences sharedPreferences = getActivity().getPreferences(Context.MODE_PRIVATE);
SharedPreferences.Editor editor = sharedPreferences.edit();
editor.putBoolean("IS_AUTHORIZED", false);
editor.commit();

При запуске активити получаете статус:

SharedPreferences sharedPreferences = getActivity().getPreferences(Context.MODE_PRIVATE);
boolean isAuthodized = sharedPreferences.getBoolean("IS_AUTHORIZED", false);

Если isAuthodized == true, то открываете нужную активити.

Также, активити с авторизацией целесообразно указать атрибут android:noHistory="true".