Сохранение даты в MySQL

Вы можете использовать в базе данных тип DATE, а в java коде - LocalDate. Во время запроса конвертируйте одно в другое. Пример:

Statement statement = connection.createStatement();
ResultSet resultSet = statement.executeQuery("select '2019-05-18'");
resultSet.next();
LocalDate date = resultSet.getDate(1).toLocalDate();

Что касается того, использовать дату или строку, то тут однозначно - дату. Имея дату, можно делать "range" запросы. Пример:

SELECT *
FROM my_table
WHERE my_date BETWEEN '2019-01-01' AND '2019-10-01'