Что лучше chrome.storage.sync или chrome.storage.local или localStorage?

localStorage это хранилище данных стандарта HTML5. Документация https://developer.mozilla.org/en/docs/Web/API/Window/localStorage Хранит данные для текущей страницы. То есть для страницы бэкграунд - один набор данных. Для страницы контента - другой набор данных (для каждой страницы свой набор). Хранит данные в виде: имя=значение (значение - строка), то есть не позволяет хранить составные объекты. При чем, типы вроде true, false будут хрантиться как "true" и "false". Обращение к данным происходит синхронным методом:

var x = localStorage.x;
var x = localStorage['x'];
var x = localStorage.getItem('x');

chrome.storage.local - хранилище данных экстеншена. Можно получить доступ как со страницы бэкграунд, так и со страницы контента - это единое хранилище. Позволяет хранить объекты, в отличии от localStorage. Обращение к данным происходит асинхронно. Позволяет "слушать" изменения переменных. Документация по работе с хранилищем https://developer.chrome.com/extensions/storage

chrome.storage.sync - работает как chrome.storage.local, но хранит данные на сервере синхронизированные по google-аккаунту

Для экстеншенов предпочтительнее использовать chrome.storage local/sync - зависит от ваших потребностей