jQuery: не записывает в значение переменной значение поля ввода

Всё у вас записывается, просто вас консоль запутала. Если вкратце, то var a = 100 - это конструкция. Такая же конструкция, как и, скажем, if (true) {}. Конструкции всегда возвращают undefined и их нельзя использовать в выражениях, т.к. это приведет к синтаксической ошибке. Например, console.log(var a = 100) выведет ошибку.

А, например, a = 100 (без var) - это выражение, которое возвращает результат выполнения (в данном примере - число 100). И выражения можно использовать внутри других выражений, например console.log(a = 100).

Подробно об этом можно почитать вот тут.