Чат на php, помогите внедрить Ajax

    <?php
if (isset($_SESSION['loggeduser']) and $_SESSION['loggeduser']['ban status'] <= 0) {
//Берём сообщения с БД
$messages  = mysqli_query($connection, "SELECT * FROM `chat`");
    while ($message = mysqli_fetch_assoc($messages)) {
    //Пока $messages не опустеет, превращаем в строки, и выводим сообщение в отдельном блоке
                $messageId = $message['id'];
                $authorInfo = mysqli_query($connection, "SELECT * FROM `users` WHERE `id` = '".$message['author_id']."' ");
                $author = mysqli_fetch_assoc($authorInfo);
                                        ?>
                //Пока $authorInfo не опустеет, превращаем в строки, и выводим аву и логин автора сообщения
                <div class="message row" id="<?php echo $message['id']?>">
                <div class="col-xs-2 col-sm-2 col-md-2 col-lg-2 messageLeftPart">
                <!--Аватарка автора сообщения в виде фона блока, остальные стили в файле стилей-->
                <div class="authorAvatar" style="background-image: url(../images/uploaded/avatars/<?php if (empty($author['avatar'])){echo 'default.png';} elseif (!empty($author['avatar'])){echo $author['avatar'];} ?>);"></div>
            </div>
            <div class="messageTextAndLogin col-xs-10 col-sm-10 col-md-10 col-lg-10">
            <!--Выводим логин автора в виде ссылки сразу на его профиль-->
            <h4 class="authorLogin"><a href="profile.php?id=<?php echo $author['id']?>"><?php echo $author['login'];?></a></h4>
            <!--Выводим время отравки сообщения-->
            <p class="messageTime"><?php echo $message['time']?></p>
            <!--Выводим текст сообщения-->
            <p class="messageText"><?php echo $message['text'];?></p>
      </div>
</div>

Чат конечно же лучше делать на websocket, но если вы говорите что чат уже есть и его нужно усовершенствовать. Тогда могу посоветовать смотреть в сторону ajax long polling, это непрерывная очередь ожидающих запросов. Вот пример:

<script type="text/javascript">
    function mainLoop(){
        $.ajax({
            url:"handler.php", 
            type:"POST",
            data:{"id":id}, // Предадим id чата.
            cahce:false,
            timeout:30000, // Браузер будет ждать ответ 30 сек, если не получит то цикл перезапустится в error.
            async:true,
            success:function(result){
            $("#response").html(result);
                // Получаем результат.
                setTimeout('mainLoop()',10000);
            },
            error:function(){
                setTimeout('mainLoop()',10000);
            }
        });
    }
    $(document).ready(function(){
        mainLoop(); // Запускаем непрерывный цикл.
    })
</script>

И php обработчик

<?php       
set_time_limit(30);
if (isset($_SESSION['loggeduser']) and $_SESSION['loggeduser']['ban status'] <= 0) {
    while(true){ // Делаем вечный цикл.
        $id = $_POST["id"];
        $getMessage=(mysqli_query("SELECT * FROM `chat` WHERE id> '$id' "));
        if (mysql_num_rows($getMessage)) {
            while($row=mysql_fetch_array($getMessage)){
                // Готовим сообщение.
                // Echo чтото там...
            }
            flush(); // Очистим буфер
            exit; // Прерываем цикл.
        }
        sleep(2); // Перерыв в 2 секунды.
    }
}

На клиенте мы запускаем вечный цикл длинных ajax запросов, клиент делает запрос и ждет 30 сек ответ, если ответ не пришел, он повторяет запрос, если пришел, то мы получаем данные, обновляем их, но запрос все равно повторяется, таким образом мы устанавливаем постоянную связь с сервером. Про ajax long pooling в интернете можно найти много информации и примеров. А на стороне сервера мы делаем вечный цикл в котором раз 2 секунды пытаемся получить сообщение, если сообщение есть то мы прерываем цикл и отдаем данные. Вместо ID сообщения можно использовать метку времени и доставать сообщение у которых метка времени больше чем метка инициализации ajax запроса.

В общем случае это выглядит вот так:

$("form").submit(function(){
    var form=$(this);
    $.ajax({
        method:"post",
        url:form.attr("action")+"&ajax",
        data:form.serialize(),
        cache:false,
        error:function(){
            //do something
        },
        success:function(result){
            //do something
        }
    });
    return false;
});

PHP обрабатывает данные из формы и возвращает ответ от сервера обратно в js

Работаю сейчас с чатами, долго вникал. Итак, если хочешь чат с блекджеком и real-time и есть время писать самому - бери https://socket.io/ или http://socketo.me/
Если времени поменьше и нужны всякие cloud functions типа push notifications- твой выбор http://parseplatform.org/
Если времени совсем мало, нужен готовый чат с чат-румами и прочими прелестями - бери firebase https://firebase.google.com/
По firebase очень много документации, готовых примеров, sdk на всех языках, включая пхп https://firebase-php.readthedocs.io/en/latest/
Надеюсь, инфа была полезной.
P.S. Ajax для чатов - далеко не самое лучшее решение