Где можно хранить данные во время редиректа?

В сессии им самое место

1. Стартуете сессию вызовом session_start()
2. Заполняете массив $_SESSION[]
3. Делаете редирект
4. Стартуете сессию вызовом session_start()
5. Считываете данные из массива $_SESSION[]
6. Если данные больше не нужны - удаляете их из массива

hello.php

session_start();
$_SESSION['hello'] = 'World!';
header('Location: world.php');

world.php

session_start();
echo $_SESSION['hello'];
unset($_SESSION['hello']);

Вам вполне подойдёт localStorage. Переменные этого объекта хранятся на уровне браузера.

localStorage.setItem('ключ', 'значение');
localStorage.getItem('ключ');
localStorage.removeItem("Ключ");
localStorage.clear();

Всё интуитивно понятно. И вот хорошая, лёгкая статья:

tproger.ru/articles/localstorage/