Как отловить параметры Get вида index.php?do=somethink в Laravel

Если я все правильно понял - все запросы с get параметрами должны отправляться на 404, тогда такое решение:

В /app/Exceptions/Handler.php, допиши метод render()

public function render($request, Exception $exception)
{
     $query = $request->query(); // возвращает get параметры
     if (!empty($query)) { 
          // тут уже $query проверяй как тебе удобно, в методе написано что он может вернуть как массив, так и строку,  
          return response()->view('errors.404', [], 404);
         /** дальше весь остальной код**/
     }
}

Объявите:

use Illuminate\Http\Request;    
public function store(Request $request)
{
    $name = $request->input('name');
    //
}