Как считывать письма с почты?

Первым делом нужно разрешить получение и загрузку писем по IMAP.

Пример загрузки сообщений из PHP по IMAP Яндекс.Почты:

$mailbox = '{imap.yandex.ru:993/imap/ssl}INBOX';
if (!$inbox = imap_open($mailbox, 'you@yandex.ru', 'password')) {
    throw new Exception(imap_last_error());
}
foreach(imap_search($inbox,'ALL') as $msg_number) {
    // структура сообщения
    $struct = imap_fetchstructure($inbox, $msg_number);
    var_dump($struct);
    // важные заголовки письма
    $overview = imap_fetch_overview($inbox, $msg_number, 0);
    var_dump($overview[0]);
    // тело сообщения
    $text = imap_fetchbody($inbox, $msg_number, 2);
    var_dump($text);
}
imap_close($inbox);

Разбор полученных сообщений заслуживает отдельного вопроса. Пример разбора сообщений через API IMAP есть в документации.