Как удалить значение из массива (json формат)

[fav] => ["259","258","261","263","265"]

В куки вы записали, как вы правильно заметили, строку, поэтому все попытки удалить элемент как $_COOKIE['fav'][...] обречены на провал.
Вам следует прочитать эту куку, привести ее к виду массива, удалить то что вам не нужно, затем вписать ее обратно.
Если опустить подробности с проверкой ее наличия, то примерно так:

$fjson = $_COOKIE['fav'];
$fav = json_decode($fjson);
$remove = 258;
$fav = array_diff($fav, [$remove]);
set_cookie('fav', json_encode($fav));

способов удалить значение из массива можно придумать множество:

• найти расхождение как в примере
• найти позицию элемента (array-search) и удалить
• сделать flip + unset
• написать array_filter

и так далее.

Как видно что Ваш массив является ассоциативным массивом. И поэтому удаление значение из ассоциативного массива будет таким образом:

$arr = ['fav' => ["259","258","261","263","265"]];
echo "<pre>";
    print_r($arr);
echo "</pre>";
/* Это входной массив со всеми значениями:
Array
(
    [fav] => Array
        (
            [0] => 259
            [1] => 258
            [2] => 261
            [3] => 263
            [4] => 265
        )
)
*/
$del_val = "259";
$sub_arr = "fav";
if (($key = array_search($del_val, $arr[$sub_arr])) !== false) {
    unset($arr[$sub_arr][$key]);
}
echo "<pre>";
    print_r($arr);
echo "</pre>";

Это вид массива после удаление значение 259 из под массива fav

Array
(
    [fav] => Array
        (
            [1] => 258
            [2] => 261
            [3] => 263
            [4] => 265
        )
)

Если упустить мометы с json и так далее, то не удалялось потому что вы пытались удалить по значению, а надо по индексу.

unset($_COOKIE['fav'][1])

Для удаления элемента со значением "258"

unset($_COOKIE['fav'][2])

Для удаления элемента со значением "261"