Обновление div из php без перегрузки страницы

Хочу сделать простенький чат. Примерно должно работать так:

<script type="text/javascript">
$(document).ready(function () { 
   $("#div_comments").load("chat.php"); 
});
function show_chat() {
   $("#div_comments").load("chat.php");
   }; 
</script>
<div id="div_comments">
<!-- тут выводятся сообщения -->
</div>
<form method='post' action="chat.php">
   <input id='username' name='username' type='text' placeholder='Ваше имя'>
   <input id='message' name='message' type='text' placeholder='Сообщение'>
   <button id='submit' name='submit' type='submit' onClick="show_chat(); return false;" />
<form>

chat.php (схематично)

$name= $_POST['name'];
$message = $_POST['message'];     //  получаем данные из формы
mysql = "INSERT name, message";   //  пишем их в базу
$comments = mysql ("SELECT * ");  //  читаем из базы всё что есть
echo '<p>'.$comments.'</p>';      //  выводим 

Я пробовал разные вариации, уже запутался. Не удавалось добиться, чтобы php работал. Если там просто написать

<p>message</p>

тогда оно отрисовывается. А если

<?php
echo 'message';
?>

тогда ничего нет. А кнопка отправки так вообще не работает. Поправьте, пожалуйста.

Добавил после Ваших комментариев:

Создал два файла в корне пустого сайта:

index.html

<script type="text/javascript">
function show_chat(btn) {
   $("#div_comments").load("chat.php", $(btn).closest("form").serialize());
}
</script>
<h>ЧАТ</h>
  <div id="div_comments">
<!-- тут выводятся сообщения -->
</div>
<form>
   <input id='username' name='username' type='text' placeholder='Ваше имя'>
   <input id='message' name='message' type='text' placeholder='Сообщение'>
   <button id='submit' name='submit' type='button' onclick='show_chat(btn)'>Click<button>
</form>

chat.php

<?php
$name = $_GET['username'];
$message = $_GET['message'];
echo '<p>'.$name.'</p>'; 
echo '<p>'.$message.'</p>'; 
?>

Кнопка нажимается, параметры в адресной строке появляются, поля ввода очищаются и на этом всё.

Igor, насчет работы с базой данных, спасибо, я это всё умею, просто не хотел загромождать код здесь, написал же "схематично". Да оно пока и неважно.