Подключение части файла (require)

Это очень странный подход и делать так не нужно.

Но если очень хочется делать именно так, то:

1. Перед require объявляете переменную, например, $codePart = "part_1";
2. Файл index.php форматируете следующим образом:

if (!empty($codePart)) {
    switch ($codePart) {
        case 'part_1':
            $text = 'Привет';
            echo $text;
            break;
        case 'part_2':
            $day = 21;
            echo $day;
            break;
    }
}

В second.php у Вас будет что-то вроде:

$codePart = 'part_1';
require 'index.php';

По факту, файл будет включен весь, но выведется только выбранная часть. Подход этот плохой и тупиковый.

Гораздо лучше (хотя тоже не оптимально), вынести нужные Вам блоки в отдельные функции, а потом просто вызывать их, где нужно.

index.php:
<?php
function partOne() {
    echo 'Привет';
}
function partTwo() {
    echo 21;
}
second.php:
<?php
include('index.php');
partOne(); //выводится "Привет"
partTwo(); //выводится 21

Так у Вас файл будет включен ровно один раз, а блоки можно выводить, где нужно.

А еще лучше почитать про шаблонизаторы.

В php, include/require подключает и исполняет файл. Вы не сможете импортировать часть файла, как например это сделано в Python или Java. По сути include/require "вставляет" содержимое файла вместо своего вызова, даже если он будет в теле функции, кроме так называемых "магических" констант тип FILE или DIR которые обрабатываются интерпретатором php до подключения.