Проверка на палиндром

В целом подход верный, но вот цикл

for($i = 0; $i < strlen($str); $i++){
  $left .= $str[$i];
  $right = $str[$i].$right;
}

можно заменить на метод strrev который переворачивает строку вот дока: http://php.net/manual/ru/function.strrev.php Но если интересует нативный подход, то для проверки слова на палиндром достаточно знать, что одна половина строки равна другой И псевдо код примерно будет выглядить так

function isPalindrome (text)
  if text is null
    return false
  left ← 0
  right ← text.length - 1
  while (left < right)
    if text[left] is not text[right]
      return false
    left ← left + 1
    right ← right - 1
 return true

Ещё вариант в коллекцию ответов (работает так же и с кириллицей) :

echo palindrome('А роза упала на лапу Азора'); // "Палиндромная строка"

function palindrome($str) {
    $str = str_replace(' ', '', mb_strtolower($str, 'UTF-8'));
    return $str == join(array_reverse(preg_split('||u', $str))) 
        ? 'Палиндромная строка' : 'Простая строка';
}