Выполнение системных команд в Linux через php exec

Можно, но для этого используйте функцию shell_exec.

Она возвращает полный вывод в виде строки, то что вам и нужно.

Вот только нужно ещё дописать 2>&1 для вывода данных в переменную:

$output = shell_exec("cat /home 2>&1");
var_dump($output);

Вывод будет:

string(27) "cat: /home: Is a directory"