Объявить >> и <<, как дружественные функции

Непонятно, что вы хотите сказать, например, этим:

if (d.stroka[i] != '\0') {

Попробуйте - это случайно не то, что вы хотите?

class st {
private:
    char stroka[10000];
public:
    friend istream &operator >> (istream &input, st&d)
    {
        return input.getline(d.stroka,10000);
    }
    friend ostream &operator << (ostream &output, const st&d)
    {
        return output << d.stroka;
    }
};

Можно использовать input.getline как вариант

#include<iostream>
using namespace std;
class st {
private:
    char stroka[10000];
public:
    friend istream &operator >> (istream &input, st&d) {
        int i = 0;
        input.getline(d.stroka, 10000);
        return input;
    }
    friend ostream &operator << (ostream &output, const st&d) {
        for (int i = 0; i < strlen(d.stroka); i++) {
                output << d.stroka[i] << "  ";
        }
        return output;
    }
};
int main() {
    st a;
    cin >> a;
    cout << a;
    system("pause");
    return 0;
}