Awesomium многопоточность

Это связано с тем, что WebCore предназначено для работы только в одном потоке.

В вашем случае вам надо явно создать этот поток:

new Thread(() => WebCore.Run()) {
    Name = "Awesomium control thread",
    IsBackground = true,
}.Start();

Любую работу с Awesomium надо передавать в этот поток:

WebCore.QueueWork(() => {
    var webView = WebCore.CreateWebView(1920, 1080);
    webView.Source = new Uri("http://google.com");
    // ...
});

Отмечу, что крутить цикл в ожидании загрузки означает убить всю многопоточность. Надо подписываться на события:

var tcs = new TaskCompletionSource<object>();
WebCore.QueueWork(async () => {
    using(webView = WebCore.CreateWebView(1920, 1080)) {
        webView.Source = new Uri("http://google.com");
        webView.LoadingFrameComplete += (o, e) => {
            if (!webView.IsLoading) tcs.TrySetResult(null);
        };
        webView.LoadingFrameFailed += (o, e) => {
            tcs.TrySetException(new Exception(e.ErrorDescription));
        };
        await tcs.Task;
    }
});
// теперь чтобы дождаться окончания загрузки страницы можно использовать await tcs.Task или tcs.Task.Wait();