Как работает такая проверка на четность/нечетность?

Выражение i & 1 выполняет побитовую операцию "И" между соответствующими битами обоих чисел. Как это работает? Представте оба числа i и 1 в двоичной записи. Например, если число i равно 1234567891, то в двоичной записи из 32-х бит (размер типа int в Java), то есть из 4-х байт, оно будет выглядить вот так:

01001001 10010110 00000010 11010011

А число 1, в такой же записи, выглядит вот так:

00000000 00000000 00000000 00000001

Теперь запишем оба числа в этой записи друг под другом и выполним операцию "И" между каждым битов верхнего числа со стоящим под ним битом нижнего:

01001001 10010110 00000010 11010011
00000000 00000000 00000000 00000001

Операция "И" возвращает 1 только если оба бита равны 1. В противном случае она возвращает 0. В нашем случае лишь крайнии справа биты обоих чисел равны 1 одновременно. Таким образом результат будет

00000000 00000000 00000000 00000001

То есть 1.

В этом и только в этом случае наше первое число является нечётным. А если бы крайний правый бит первого числа был 0, то без разницы чему равны остальные биты первого числа, результат побитового "И" со вторым числом 1 всегда будет 0.

Почему этот бит является признаком нечётности? Тут можно прочитать длинную лекцию о позиционных системах счисления, но если в кратце, то двоичная запись числа это сумма произведений цифр числа на два в степени индекса цифры начиная справа, когда первый индекс - это ноль. Например двоичное число 10111 - это справа налево: (1 * 2^0) + (1 * 2^1) + (1 * 2^2) + (0 * 2^3) + (1 * 2^4) = 1 + 2 + 4 + 0 + 16 = 23. Обратите внимание на то, что значение лишь крайне правой цифры может быть нечётным. Сумма любых чётных чисел всегда даёт чётное число. Сумма любого чётного числа и нечётного числа (например единицы) всегда даёт нечётное число. Именно поэтому мы проверяем лишь крайний правый бит когда хотим узнать чётное число или нет.

Этот способ работает и с отрицательными числами. Для представления отрицательных чисел в двоичной системе счисления есть несколько способов. В большинстве компьютеров, в том числе и в JVM (виртуальной Java машине), используется способ, который называется дополнительный код. Суть способа очень проста: берём абсолютное значение числа, заменяем все единицы на нули и все нули на единицы и затем прибавляет единицу. Результат этих манипуляций будет иметь точно такой же младший (крайний правый) бит, что и абсолютное значение числа. А отрицательное число чётно тогда и только тогда, когда чётно его абсолютное значение. Например -18 чётно, потому что чётно 18. То есть младший бит любого целого числа в Java является признаком нечётности.

Это побитовое умножение, побитово умножив число на 1 получим последний(правый) бит.