Как сделать копию строки с помощью целочисленной переменной?

String name = "Alex";
int num = 5;

AlexAlexAlexAlexAlex

Например, так:

String name = "Alex";
int num = 5;
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
for (int i=0; i<num; i++) {
    stringBuilder.append(name);
}
String result = stringBuilder.toString();

В цикле num раз добавляете к результирующей строке заданную строку.

StringBuilder вместо String здесь используется для того, чтобы при каждой конкатенации не создавать новый объект (так как String является immutable).

В Java 8 можно получить требуемое вот так:

String name = "Alex";
int num = 5;
String result = String.join("", Collections.nCopies(num, name));

Самый тупой способ:

String s = "";
for (int i = 0; i < num; ++i)
    s += name;

Как вариант, можно попробовать так:

String str = "hello";
int count = 10;
String result = Stream.generate(() -> str).limit(count).collect(Collectors.joining());