Не работает лямбда выражение в Collectors.toMap()

Во-первых, классу Person нужны геттеры

class Person {
    private String name;
    private int age;
    public Person (String name, int age) {
        this.name = name;
        this.age = age;
    }
    public String getName() {
        return name;
    }
    public int getAge() {
        return age;
    }
}

Во-вторых, методу sorted нужен компаратор, который будет сравнивать элементы

Map<String, Person> map = personList.stream()
  .sorted(Comparator.comparingInt(Person::getAge))
  .collect(Collectors.toMap(Person::getName, Function.identity()));

А чтобы гарантировать сохранение упорядоченности элементов в результирующей коллекции, стоит явно указать её реализацию:

.collect(Collectors.toMap(Person::getName,
                          Function.identity(),
                          (a, b) -> a,
                          LinkedHashMap::new));

UPD: Чтобы собрать в Map один элемент с самым большим возрастом

Map<String, Person> map = personList.stream()
  .sorted(Comparator.comparingInt(Person::getAge).reversed())
  .limit(1)
  .collect(Collectors.toMap(Person::getName, Function.identity()));

Но тогда непонятно, зачем нужен Map для одного элемента. Можно просто

Person person = personList.stream()
                          .max(Comparator.comparingInt(Person::getAge))
                          .get();