Поиск js элемента по HTML коду

Ну это просто. Тебе сначала надо распарсить данную строку. Так ты получишь список нод и их параметров. И тебе останется пробежаться по всем элементам документа и сравнить соответствие параметров и потомков.

Парсинг можешь заменить на создание элемента с данной html структурой. И сравнивать все ноды документа с нодами этого элемента.

Можно сделать так.
Ищем первый тег в строке поиска, в примере выше это a.

Далее через document.getElementsByTagName берём все теги a из документа, и сравниваем с поисковой строчкой через outerHTML.

Обновлено:
Сначала вставляем поисковый текст на страницу (куда-то в скрытое место, после работы поиска незабываем удалить элемент) и берём от него outerHTML, а потом делаем что я написал выше.
Зачем это надо? Дело в том что браузер хранит страницу в своём формате, и если у вас например лишний пробел есть, или перенос строки то алгоритм выше не сработает. Даже если в исходном файле где-то два пробела, то внутри браузера пробел будет один. Поэтому этим действием мы приводим строчку к браузерному виду, если в этом есть потребность.