Получение только связанных данных MySQL

Без схемы данных сложно сказать что-то осмысленное. В текущей формулировке вопроса я бы предложил сделать следующее:

1. Каждый сайт коннектится к БД со своим собственным логином
2. В запрос вставляете where site = current_user() (так кажется в mysql определяется текущий пользователь)
3. Можно еще сделать view и вставить условие туда, тогда один и тот же запрос select * from my_view будет возвращать каждому пользователю только его данные.

В развитие идеи @Dmitry о вьювах, с целью снять проблему заведения для каждого сайта отдельного пользователя. Исполняемый код, обращающийся к БД, знает, для какого именно сайта он выполняет запрос. Однако автор хочет избежать постоянной передачи имени сайта (неважно, как параметра запроса или статически). Вроде имя сайта можно было бы содержать в сессионной переменной - но в представлении переменные не допускаются.

Решением может быть пользовательская функция, возвращающая значение переменной, которая в представлении допустима. Типа

CREATE FUNCTION getsite() 
DETERMINISTIC 
NO SQL
RETURNS VARCHAR(128)
RETURN @site;

и соответственно

CREATE VIEW sitedata()
AS
SELECT * 
FROM alldata
WHERE site = getsite();

Тогда при установлении соединения мы сразу инициализируем сессионную переменную, типа

SET @site = 'www.mysite.ru'

и обращаемся к вьювам, которые в рамках нашего соединения будут получать только данные для установленного в переменной сайта.

Костыль, конечно... и надо проверить, как оно себя поведёт при разрыве и автовосстановлении соединения... и совсем неприменимо, если используется пул соединений.