Дописать текст в конец файла

File.AppendAllText(а тут как);

Ну например так:

string readText = File.ReadAllText("путь_до_1.txt");
File.AppendAllText("путь_до_2.txt", readText);

Вот вариант без чтения всего второго файла в память:

File.AppendAllLines("2.txt", File.ReadLines("1.txt"));

AppendAllText требует на вход текст как строку, поэтому эту строку требуется считать в память полностью. Вариант с ReadLines читает файл построчно и пишет по мере чтения. (Впрочем, он тоже не застрахован от очень длинных строк.)

Когда то писал свой велосипед по копированию больших файлов, думаю это может кому-нибудь помочь

// Файл из которого копируется
string pathSource = @"1.txt";
// Файл куда
string pathNew = @"2.txt";
// Размер буфера копирования
var bufferSize = 1024;
using(var stream = new FileStream(pathSource, FileMode.Open, FileAccess.Read))
using(var writeStream = new FileStream(pathNew, FileMode.OpenOrCreate, FileAccess.Write))
{
    // Конец файла
    var endPoint = writeStream.Length;
    // Буфер копирования
    var buffer = new Byte[bufferSize];
    // Байт прочитали
    var bytesRead = 0;
    using(var reader = new StreamReader(stream))
    using(var writer  = new StreamWriter(writeStream)) {
        // Пропускаем все до конца
        writeStream.Seek(endPoint, SeekOrigin.Begin);
        // Пишем блоки
        while ((bytesRead = stream.Read(buffer, 0, bufferSize)) > 0) {
            writeStream.Write(buffer, 0, bytesRead);
        }
    }
}