В базе данных что правильнее хранить путь файла с названием, или только название?

Давайте скажу свою практику, а вы там сами определите, что и на сколько подходит под ваше приложение и под идеалогию ларавела. Возможно просто расскажу свой метод который является одним из подходов при работе с файлами.

Путь к картинке делится на 3 части, условно можно обозначить так:

директория/каталоги/имя файла

Пример:

/uploads/avatars/2018/10/20/a_mine.jpg, где:

директория - /uploads/avatars/

каталоги - 2018/10/20/

имя файла - a_mine.jpg

Смысл директории - это разделить вложения по смыслу, например: аватарки, для новостей, для блога, для рекламы, какие-то системные файлы и т.д.

Смысл каталогов - как-то рассортировать файлы, чтобы в одной папке не было много файлов, ибо если у нас в папке будет 10к картинок, то запрос на получение - будет долгим. (P.S. Есть какие-то лимиты, сколько рекомендуется хранить файлов, я не вспомню точно, если будет интересно - загуглите, но там не так уж и много).

Смысл имени файла - последний этап при идентификации файла. Думаю тут все понятно :)

Что и как хранить:

Директорию в базе хранить не стоит, это константа она у вас в проекте где-то должна быть задана, условно, эта константа представляет собой массив, где ключ - алиас директории, а значение - путь. Ну наглядно:

[
    'avatars'    => '/uploads/avatars/',
    'blog'       => '/uploads/blog/',
    'news'       => '/uploads/news/',
    'attach'     => '/uploads/attach/'
]

Максимум что вы можете хранить в таблице, это название алиаса, чтобы понимать к чему принадлежит файл и только в том случае, если у вас в таблице файлы из нескольких директорий (что логично). Например: общая таблица где все файлы из всех директорий.

Вот с каталогами и именем другая басня. Их конечно стоит хранить в таблице, но хранить стоит отдельно друг от друга. Может в БД и больше места занимать будет (но на дворе 2к18, с памятью на винте проблем нет), а в замен вы получите более гибкий инструмент для работы с этими файлами.

P.S. Стоит ли хранить расширения файлов? А вот тут уже спорный вопрос. Зависит от целей, если будет какой-то фильтр для фильтрации по типу - возможно и стоит добавить если у вас очень очень много файлов. Если нет, то на php есть функция для получения расширения файла, а со стороны бд, поиск можно осуществлять и штатными средствами. В любом случае если вы не храните расширение, в любой момент добавить эту возможность - не проблема.